[repost ]一张图的故事——概率分布之间的关系（下）

original:http://ift.tt/1r1p8jY 填自己挖的坑, 继续介绍概率分布之间的关系。下从Beta分布开始介绍。 14. Beta(α,β)→u=α/(α+β),σ2=αβ/(α+β)2(α+β+1),α=β>5N(u,σ2)。 没能推出来（囧哩个囧）。 15. G(α,β)→X1/(X1+X2)N(u,σ2)。 证明该关系之前，我们引入如下引理。该引理用以求变换之后随机变量的分布。求变换之后随机变量的分布， 有一整套完整的方法， 细节见Statistical Inference的第2章和第4章的4.3节。 引理1 假设(X1,X2,...,Xn)是连续的随机向量，概率密度函数为fX1,X2,...,Xn(X1,X2,...,Xn)。 有一一映射G:(X1,X2,...,Xn)→(Y1,Y2,...,Yn)。 其逆映射为G−1:(Y1,Y2,...,Yn)→(X1,X2,...,Xn)。 那么有随机向量(Y1,Y2,...,Yn)的概率密度函数： =f(Y1,Y2,...,Yn)(y1,y2,...,yn)fX1,X2,...,Xn(G−1(Y1,Y2,...,Yn))|J|(1) 其中J表示Jacobian矩阵的行列式， J=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x1∂y1∂x2∂y1...∂xn∂y1............∂x1∂yn∂x2∂yn...∂xn∂yn∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 假设映射为：y1=x1x1+x2,y2=x2。易验证该映射是一一映射，其逆映射为：x1=(y1y2)/(1−y1),x2=y2。经过计算得： J=y2(1−y1)2 利用公式1, 推导出y1,y2联合分布的概率密度函数 ==fY1,Y2(y1,y2)fX(x1x1+x2)fX(x2)|J|fX为Gamma分布(1Γ(α)βα)2(y1y221−y1)α−1exp(−y2β(1−y1))y2(1−y1)2 为了得到y1的分布, 即x1/(x1+x2)的分布, 我们对y2求积分 fY1(y1)===∫∞0fY1,Y2(y1,y2)dy2(1Γ(α)βα)2yα1(1−y1)α+1∫∞0y2α−12exp(−y2β(1−y1))dy2Γ(2α)Γ(α)2yα−11(1−y1)α−1 即得x1/(x1+x2)满足Beta分布。 16. t(n)→X2F(n,m)。 F分布是用来研究两个服从正态分布的样本的样本方差的分布。X1,X2,...,Xn服从正态分布n(ux,σ2x)的独立同分布样本，Y1,X2,...,Ym服从正态分布n(uy,σ2y)的独立同分布样本，则变量S2x/σ2xS2y/σ2y服从自由度为n-1和m-1的F分布。一个F分布的自由度为p和q, 其概率密度函数为 fF(x)=Γ(p+q2)Γ(p2)Γ(q2)(pq)p/2xp/2−1[1+(p/q)x](p+q)/2(2) 在证明该转化关系之前，我们引入一引理： 引理2 X1,X2,...,Xn是服从正态分布n(u,σ)的独立同分布样本，则有X¯=1n∑ni=1Xi∼n(u,σ2/n) X1,X2,...,Xn是服从正态分布n(u,σ)的独立同分布样本, 根据t分布的定义，可知变量v=X¯−uSx/n√∼t(n−1)。令m=X¯−u1/n√, 根据引理，m∼n(0,σ2)。此时有： v2=(mSx)2=m2/σ2S2x/σ2 根据公式2, 只要我们能找到服从正态分布的样本，其样本方差的分布和随机变量m2的分布一致， 立证v2服从F分布。 假设U1,U2是服从正态分布n(0,σ2)的样本，其样本方差为S2u=(U1−U2)22。 令s=U1−U22√。 根据引理易知： s∼n(0,σ2)=>即s和m有相同的分布=>S2u和m2有相同的分布 v2服从自由度为1和n-1的F分布。转化关系得证。 17. F(n,m)↔χ2(n)。 首先说明←：X1,1,X1,2,...,X1,n+1为服从标准正态分布的独立同分布样本。令X1=∑n+1i=1X21,i, 则X_1服从自由度为n的卡方分布。 X2,1,X2,2,...,X1,m+1为服从标准正态分布的独立同分布样本。令X2=∑m+1i=1X21,i, […]



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